Логарифмические и показательные уравнения на ЕГЭ по математике: алгоритм

16 октября 2026 г. · 3 мин чтения · Редакция Skill Unit

Показательные и логарифмические уравнения дают стабильные баллы, если действовать по алгоритму: определить тип, привести к простому виду, решить, проверить. Хаотичные преобразования чаще всего ведут к потерянным или лишним корням.

Что нужно помнить наизусть

• Свойства степеней: a^m · a^n = a^(m+n); a^m / a^n = a^(m−n); (a^m)^n = a^(mn).
• Логарифм: log_a(b) определён при a > 0, a ≠ 1, b > 0.
• Сумма и разность: log_a(x) + log_a(y) = log_a(xy); log_a(x) − log_a(y) = log_a(x/y).
• Степень под логарифмом: log_a(x^k) = k · log_a(x) при x > 0.
• Основное тождество: a^(log_a b) = b.
• Смена основания: log_a(b) = log_c(b) / log_c(a).

Показательные уравнения: порядок действий

• Приведите обе части к одному основанию, если это возможно, и приравняйте показатели.
• Если основания разные, вынесите общий множитель за скобки или разделите обе части на одну из степеней.
• Если видите одинаковую степень в разных показателях (например, 4^x и 2^x), введите замену t = 2^x и помните, что t > 0.
• Решите получившееся уравнение, вернитесь к x и отбросьте посторонние значения t.

Учебный разбор 1

Решить: 9^x − 4·3^x − 45 = 0

1) 9^x = (3^x)^2. Замена t = 3^x, t > 0.
2) t^2 − 4t − 45 = 0. Корни: t = 9 и t = −5.
3) t = −5 не подходит (t > 0).
4) 3^x = 9, значит x = 2.

Ответ: 2

Логарифмические уравнения: порядок действий

• Сразу запишите ОДЗ: все выражения под логарифмами должны быть положительными, основания положительными и не равными единице.
• Приведите уравнение к виду log_a(f) = log_a(g) или log_a(f) = c.
• Перейдите к f = g (при равных основаниях) или f = a^c.
• Решите получившееся уравнение и проверьте корни по ОДЗ. Корни, которые ему не удовлетворяют, отбросьте.

Учебный разбор 2

Решить: log_2(x − 1) + log_2(x + 1) = 3

ОДЗ: x − 1 > 0 и x + 1 > 0, значит x > 1.
1) Сумма логарифмов: log_2((x − 1)(x + 1)) = 3.
2) x^2 − 1 = 2^3 = 8, откуда x^2 = 9, x = 3 или x = −3.
3) x = −3 не входит в ОДЗ (x > 1).

Ответ: 3

Как избежать потери и лишних корней

• Запишите ОДЗ до преобразований. Свойство суммы логарифмов может расширить область допустимых значений, и появятся лишние корни.
• Если вы перешли от log_a(x²) к 2·log_a(x), не потеряйте значения x < 0: корректнее писать 2·log_a|x|.
• Подставляйте найденные корни в исходное уравнение, а не в преобразованное.

Типичные ошибки

• Забыть условие t > 0 при замене в показательном уравнении.
• Не проверить корни по ОДЗ в логарифмическом уравнении.
• Применить свойство суммы логарифмов, не убедившись, что оба выражения положительны.
• Перепутать log_a(x + y) с log_a(x) + log_a(y). Такого свойства нет.
• Арифметическая ошибка при решении квадратного уравнения после замены.

Как тренироваться

• Выберите по пять уравнений каждого типа с разной сложностью.
• Решайте с записью ОДЗ и проверкой, даже если корень «очевиден».
• Все ошибки запишите в тетрадь: тип, причина, правильный шаг. Через неделю решите такие же задачи заново.

В курсе «ЕГЭ по математике» такие уравнения разбираются пошагово, с заданиями для тренировки и проверкой решений. Первый урок бесплатный.