Планиметрия на ЕГЭ по математике: какие теоремы нужны и как оформить решение

31 октября 2026 г. · 3 мин чтения · Редакция Skill Unit

Планиметрия пугает тех, кто пытается «увидеть» ответ. Те, кто решает такие задачи стабильно, делают по-другому: аккуратно рисуют, выписывают всё известное и перебирают короткий список теорем, пока одна не сработает. Разберём этот порядок по шагам.

Шаг 1. Чертёж и данные

• Рисуйте крупно и не по линейке «на глаз»: если вы нарисовали треугольник прямоугольным, вы начнёте считать его таким, хотя в условии этого нет.
• Подпишите все данные прямо на чертеже: стороны, углы, равные отрезки (одинаковые чёрточки), параллельные прямые, точки касания.
• Отдельно выпишите, что нужно найти, и подчеркните это в условии.
• Если фигур несколько (треугольник и окружность), сначала нарисуйте их по отдельности, потом вместе.

Шаг 2. Короткий список теорем «по умолчанию»

Большинство задач держится на небольшом наборе знаний. Проверьте себя: каждое из этих утверждений вы должны уметь сформулировать и применить без подсказки.

• Сумма углов треугольника, свойства равнобедренного треугольника (высота — медиана — биссектриса).
• Теорема Пифагора и признаки подобия треугольников; отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия.
• Теоремы синусов и косинусов, формулы площади треугольника.
• Вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается; углы, опирающиеся на диаметр, прямые.
• Свойства касательной: радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен ей; отрезки касательных из одной точки равны.
• Свойство биссектрисы, средняя линия, свойства параллелограмма и трапеции.
• Условия вписанного и описанного четырёхугольника (суммы противоположных углов и сторон).

Шаг 3. Ищите «рабочие» элементы

Когда все данные на чертеже, задайте себе три вопроса. Есть ли прямой угол или пара равных углов — тогда ищем подобные треугольники. Есть ли окружность — тогда вспоминаем вписанные углы и касательные. Можно ли дополнительным построением (высота, радиус в точку касания, продолжение стороны) получить прямоугольный треугольник — в нём всё считается по Пифагору и тригонометрии.

Учебный пример

Это учебная задача, придуманная для разбора, не из реального варианта. Стороны треугольника равны 13, 14 и 15. Найти радиус вписанной окружности.

• Выбираем формулу: площадь треугольника S равна произведению радиуса вписанной окружности r на полупериметр p, то есть S = r · p.
• Полупериметр: p = (13 + 14 + 15) ÷ 2 = 21.
• Площадь по формуле Герона: S = √(21 · 8 · 7 · 6) = √7056 = 84.
• Радиус: r = S ÷ p = 84 ÷ 21 = 4.
• Проверка: радиус вышел меньше любой высоты треугольника — правдоподобно. Если хотите перепроверить, найдите высоту к стороне 14: 2 · 84 ÷ 14 = 12, а радиус 4 заведомо меньше.

Обратите внимание на порядок: сначала выбрана формула, потом подставлены числа, в конце есть проверка. Так же стоит записывать и настоящие решения.

Шаг 4. Оформление

Если в задании нужно приводить полное решение, проверяющий оценивает логику, а не только ответ. Поэтому каждое утверждение должно иметь основание.

• Пишите короткие шаги: «Треугольники ABC и MBN подобны по двум углам (угол B общий, MN параллельна AC)».
• Называйте теорему или свойство, на которое опираетесь, когда оно не очевидно.
• Не пропускайте обоснование того, что фигура именно такая: прямоугольная, равнобедренная, вписанная.
• Ответ записывайте в конце вместе с единицами, если они есть в условии.

Частые ошибки

• Решать по чертежу, нарисованному «красиво», а не по условию: на глаз равные отрезки и прямые углы могут оказаться не равными и не прямыми.
• Применять признак подобия, не проверив третий угол или пропорциональность всех сторон.
• Путать отношение сторон подобных фигур с отношением их площадей.
• Забыть про второй вариант расположения: точка может лежать на отрезке или на его продолжении, окружность может касаться внутренним или внешним образом.
• Считать на пределе внимания без проверки: арифметическая ошибка в последней строке обнуляет хороший ход решения.

Как тренироваться

Берите по одной задаче в день и решайте в три прохода: сначала сами, до 15–20 минут; затем с открытой теорией; затем разбор. В тетради ведите список «какая теорема не пришла мне в голову» — через две недели видно, какие именно утверждения нужно подтянуть. Подробнее о том, как разбирать собственные ошибки, — в нашей статье про разбор пробника.

В курсе «ЕГЭ по математике» на Skill Unit теория разбита на короткие уроки с практикой, а решения проверяются ИИ с разбором шагов. Первый урок бесплатный.