Иррациональные уравнения на ЕГЭ по математике: как решать и проверять корни

27 октября 2026 г. · 4 мин чтения · Редакция Skill Unit

Иррациональное уравнение — это уравнение, в котором неизвестное стоит под знаком корня. Главная ловушка в них не само решение, а посторонние корни: при возведении в квадрат появляются числа, которые исходному уравнению не подходят. Поэтому в любом решении нужна проверка.

Главная идея

Корень чётной степени не может быть отрицательным. Если в уравнении √A = B, то левая часть неотрицательна, а значит, и B должно быть не меньше нуля. Это условие нужно записать сразу — оно отсекает лишние корни без подстановки.

Алгоритм решения

• Уедините корень: перенесите все остальные слагаемые в другую часть.
• Запишите условие: правая часть B ≥ 0. Условие A ≥ 0 следует из уравнения A = B², поэтому отдельно его проверять не нужно.
• Возведите обе части в квадрат и решите получившееся уравнение.
• Оставьте только те корни, которые удовлетворяют условию B ≥ 0.
• Сделайте проверку подстановкой в исходное уравнение, если есть сомнения.

Учебный пример 1

Решить: √(x + 6) = x

1) Условие: x ≥ 0.
2) Возводим в квадрат: x + 6 = x².
3) x² − x − 6 = 0, корни x = 3 и x = −2.
4) Условию x ≥ 0 удовлетворяет только x = 3.
5) Проверка: √9 = 3. Верно.

Ответ: 3

Корень −2 появился потому, что при возведении в квадрат знак потерялся: √4 = 2, а не −2. Условие x ≥ 0 отсекло его сразу.

Учебный пример 2

Решить: √(3x + 10) = x + 2

1) Условие: x + 2 ≥ 0, то есть x ≥ −2.
2) Возводим в квадрат: 3x + 10 = x² + 4x + 4.
3) x² + x − 6 = 0, корни x = 2 и x = −3.
4) Условию x ≥ −2 удовлетворяет только x = 2.
5) Проверка: √16 = 4, и 2 + 2 = 4. Верно.

Ответ: 2

Когда корней в уравнении два

Если уравнение вида √A + √B = C, уединить один корень, возвести в квадрат, затем при необходимости повторить действие. После первого возведения в квадрат может остаться корень — не пугайтесь, уединяйте его снова. Условия для обеих частей каждый раз записывайте отдельной строкой.

Учебный пример 3: оба корня подходят

Решить: √(x² − x − 2) = x − 1

1) Условие: x − 1 ≥ 0, то есть x ≥ 1.
2) Возводим в квадрат: x² − x − 2 = x² − 2x + 1.
3) Слагаемые x² сокращаются: x = 3.
4) x = 3 удовлетворяет условию x ≥ 1.
5) Проверка: 9 − 3 − 2 = 4, √4 = 2, и 3 − 1 = 2. Верно.

Ответ: 3

Здесь после возведения в квадрат старшие степени сократились, и осталось простое уравнение. Так бывает часто: не пугайтесь громоздкой записи, а аккуратно раскрывайте скобки и приводите подобные слагаемые. Также обратите внимание, что отдельно условие x² − x − 2 ≥ 0 проверять не пришлось: оно следует из равенства квадрату неотрицательного числа.

Как тренироваться

• Решайте по одному уравнению в день и каждый раз вслух проговаривайте условие на правую часть, прежде чем возводить в квадрат.
• После решения подставляйте найденные корни в исходное уравнение и сравнивайте с тем, что дало условие: так вы быстро почувствуете, где корень «теряется».
• Составляйте свои уравнения: возьмите число, напишите уравнение вида корень равен выражению, у которого это число — корень, и решите его.
• Ошибки записывайте в отдельный список с пометкой, что именно пропущено: условие, скобка или проверка.

Оформление в части с развёрнутым ответом

Проверяющий смотрит, что вы осознанно отбросили лишние корни. Запишите условие или выполните проверку подстановкой и ясно напишите ответ. Одной фразы «корень не подходит» без объяснения недостаточно.

Частые ошибки

• Забыть про условие для правой части и выписать оба корня.
• Возвести в квадрат, не уединив корень: (√x + 1)² раскрывается в сумму с удвоенным произведением, а не в x + 1.
• Ошибка в раскрытии квадрата суммы: (x + 2)² = x² + 4x + 4, а не x² + 4.
• Подставлять в упрощённое уравнение, а не в исходное: проверка должна идти по исходной записи.
• Записать корень без проверки, потому что «квадратное уравнение решено верно».

Уравнения, неравенства, задачи с параметром и остальные типы заданий профильной математики разобраны в курсе «ЕГЭ по профильной математике»: в каждом уроке алгоритм, разбор ошибок и задачи с мгновенной проверкой. Первый урок бесплатный.