Векторы на ЕГЭ по математике: формулы и типовые задачи без путаницы

2 ноября 2026 г. · 2 мин чтения · Редакция Skill Unit

Задачи на векторы в профильном ЕГЭ короткие и решаются за пару минут — если помнить пять формул и не путать координаты вектора с координатами точки. Разберём всё, что нужно, и типичные ловушки.

Координаты вектора

Если вектор AB начинается в точке A(x₁; y₁) и заканчивается в B(x₂; y₂), его координаты — разность «конец минус начало»: AB = (x₂ − x₁; y₂ − y₁). Частая ошибка — вычесть наоборот: тогда получится вектор BA, направленный в другую сторону.

Пять формул, которые нужны

• Сумма: a + b = (a₁ + b₁; a₂ + b₂). Разность — так же, с минусом.
• Умножение на число: k·a = (k·a₁; k·a₂).
• Длина: |a| = √(a₁² + a₂²).
• Скалярное произведение: a·b = a₁b₁ + a₂b₂ = |a|·|b|·cos φ.
• Косинус угла: cos φ = (a₁b₁ + a₂b₂) / (|a|·|b|).

Следствие, которое часто проверяют: векторы перпендикулярны, если скалярное произведение равно нулю.

Разбор 1. Длина суммы

Даны векторы a(3; 4) и b(1; −6). Найдите длину вектора a + b.

• a + b = (3 + 1; 4 − 6) = (4; −2).
• |a + b| = √(16 + 4) = √20 = 2√5.
• Если ответ нужен числом без корня, проверьте условие: возможно, спрашивают квадрат длины или другую величину.

Разбор 2. Скалярное произведение

Даны векторы a(2; −3) и b(4; 1). Найдите a·b.

• a·b = 2·4 + (−3)·1 = 8 − 3 = 5.
• Ловушка — знак: (−3)·1 = −3, а не 3.

Разбор 3. Векторы, заданные рисунком

Если векторы нарисованы на клетчатой бумаге, сначала найдите их координаты: от начала до конца считайте клетки по горизонтали (вправо — плюс, влево — минус) и по вертикали (вверх — плюс, вниз — минус). Дальше задача становится обычной задачей на формулы.

Разбор 4. Перпендикулярность

При каком k векторы a(k; 2) и b(3; −6) перпендикулярны?

• Условие: a·b = 0.
• 3k + 2·(−6) = 0 → 3k = 12 → k = 4.

Типичные ошибки

• Вычитание «начало минус конец» при поиске координат.
• Потерянный минус при умножении отрицательных координат.
• Путаница длины вектора и его координат: длина — всегда неотрицательное число.
• Ответ «под корнем», когда бланк требует десятичную дробь или целое число, — перечитайте, что именно спрашивают.

Как закрепить

Решите 15 задач подряд из открытого банка ФИПИ и выпишите ошибки. Если ошибок больше двух — вернитесь к формулам выше. В курсе по профильной математике темы разбираются на задачах с мгновенной проверкой, а ИИ-преподаватель объясняет, где именно ошибка в решении.