ОДЗ и посторонние корни на ЕГЭ по математике: как проверять решения уравнений

2 ноября 2026 г. · 3 мин чтения · Редакция Skill Unit

Посторонний корень получается, когда в ходе преобразований уравнение «расширилось»: после возведения в квадрат или объединения логарифмов появились числа, которых исходное уравнение не допускает. ОДЗ, то есть область допустимых значений, помогает поймать их до записи ответа.

Когда нужно думать про ОДЗ

• Дробь: знаменатель не равен нулю.
• Корень чётной степени (например, квадратный): подкоренное выражение не меньше нуля.
• Логарифм: выражение под знаком логарифма больше нуля, основание больше нуля и не равно единице.
• Тангенс и котангенс: есть значения аргумента, при которых они не определены (например, tg x не определён там, где cos x = 0).
• Чётный корень в правой части: сам корень не бывает отрицательным, поэтому в уравнении √(…) = g(x) нужно g(x) ≥ 0.

Два способа справиться с посторонними корнями

• Способ 1. Сначала записать ОДЗ, решить уравнение, затем оставить только корни, которые в ОДЗ входят.
• Способ 2. Решить без ОДЗ и подставить каждый корень в исходное уравнение. Он надёжен, если расчёты простые.

Для сложных выражений удобнее первый способ: подставлять тригонометрические или громоздкие значения долго. Для простых чисел подойдёт второй.

Пример 1. Уравнение с корнем

Решим √(x + 2) = x. Здесь правая часть обязана быть не меньше нуля: x ≥ 0. Возводим в квадрат: x + 2 = x², откуда x² − x − 2 = 0 и x = 2 или x = −1. Условие x ≥ 0 исключает x = −1. Проверка: √(2 + 2) = 2, верно. Ответ: 2.

Пример 2. Дробь

Решим (x² − 4) / (x − 2) = 0. ОДЗ: x ≠ 2. Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю: x² = 4, то есть x = 2 или x = −2. Корень 2 не входит в ОДЗ. Ответ: −2.

Пример 3. Логарифмы

Решим log₃(x − 1) + log₃(x + 1) = 1. ОДЗ: x − 1 > 0 и x + 1 > 0, то есть x > 1. Складываем логарифмы: log₃((x − 1)(x + 1)) = 1, значит x² − 1 = 3 и x = 2 или x = −2. В ОДЗ входит только 2. Проверка: log₃1 + log₃3 = 0 + 1 = 1. Ответ: 2.

Обратите внимание: если сразу «склеить» логарифмы в log₃(x² − 1), условие x > 1 теряется, и оба корня выглядят допустимыми для нового выражения. Поэтому ОДЗ нужно записывать по исходному уравнению.

Алгоритм на экзамене

• Прочитайте уравнение и отметьте опасные места: дробь, корень, логарифм, тангенс.
• Запишите ОДЗ отдельной строкой в черновике и в решении.
• Решите уравнение. Если применяли возведение в квадрат или объединяли логарифмы, помните, что могли появиться лишние корни.
• Сверьте каждый корень с ОДЗ или подставьте его в исходное уравнение.
• Запишите в ответ только прошедшие проверку корни.

Частые ошибки

• Решить уравнение, получить два корня и записать оба, не проверив ОДЗ.
• Записать ОДЗ по преобразованному уравнению, а не по исходному.
• Забыть, что основание логарифма должно быть положительным и не равным единице.
• Не учесть условие g(x) ≥ 0 для уравнений вида √(f(x)) = g(x).
• Сократить дробь на выражение с x и потерять корень или ограничение.
• Ограничиться одной подстановкой при громоздком корне и ошибиться в вычислении.

Как тренироваться

Возьмите по три уравнения каждого типа: с корнем, дробью и логарифмом. Для каждого сначала запишите ОДЗ, потом решайте, и в конце напишите одной фразой, почему отброшен лишний корень. Если ошибаетесь, фиксируйте причину в журнале ошибок: не помнили условие, потеряли знак или не проверили корень. Такая работа с разбором ошибок и проверкой решений есть в курсе подготовки к профильному ЕГЭ по математике.