Метод интервалов на ЕГЭ по математике: как решать неравенства без потери корней

21 октября 2026 г. · 3 мин чтения · Редакция Skill Unit

Неравенство во второй части профильного ЕГЭ почти всегда сводится к методу интервалов: логарифмическое, показательное или дробное — после преобразований остаётся выражение вида «произведение и частное скобок больше или меньше нуля». Если метод интервалов отработан до автоматизма, большая часть баллов за неравенство уже ваша.

Алгоритм из пяти шагов

• Перенесите всё в одну сторону, справа должен остаться ноль. Не умножайте обе части на выражение с переменной: его знак неизвестен.
• Разложите левую часть на множители: вынесение за скобки, формулы сокращённого умножения, корни квадратного трёхчлена.
• Найдите нули числителя и знаменателя. Нули знаменателя всегда выколоты. Нули числителя закрашены, если знак нестрогий (≥ или ≤), и выколоты, если строгий.
• Расставьте точки на прямой и определите знак на крайнем правом интервале, подставив большое число.
• Двигаясь влево, меняйте знак при переходе через каждую точку, кроме точек чётной кратности. Выберите интервалы с нужным знаком.

Пример 1

Решите неравенство (x − 3)(x + 1) / (x − 5) ≥ 0. Нули числителя: x = 3 и x = −1, они закрашены (знак нестрогий). Ноль знаменателя: x = 5, выколот. Справа от 5, например при x = 10, все скобки положительны: знак «+». Дальше знаки чередуются: на (3; 5) «−», на (−1; 3) «+», на (−∞; −1) «−».

Ответ: [−1; 3] ∪ (5; +∞). Проверка точкой: x = 0 даёт (−3)·1/(−5) = 0,6 ≥ 0, верно; x = 4 даёт 1·5/(−1) = −5, не подходит. Всё сходится.

Пример 2: корень чётной кратности

Решите (x − 2)²(x + 4) ≤ 0. Точки: −4 и 2, обе закрашены. Справа от 2 знак «+». Множитель (x − 2) стоит в квадрате, поэтому при переходе через 2 знак не меняется: на (−4; 2) тоже «+». Через −4 знак меняется: на (−∞; −4) «−».

Нам нужно «меньше или равно нуля», поэтому берём (−∞; −4] и отдельно точку x = 2, где выражение равно нулю. Ответ: (−∞; −4] ∪ {2}. Потерянная изолированная точка — одна из самых частых причин снижения балла.

Где метод интервалов встречается внутри других неравенств

• Логарифмические: сначала область допустимых значений (аргументы больше нуля, основание больше нуля и не равно единице), потом переход к рациональному неравенству и метод интервалов. Ответ — пересечение с ОДЗ.
• Показательные: после замены t = aˣ решаете неравенство относительно t методом интервалов, затем возвращаетесь к x, помня, что t > 0.
• Дробно-рациональные: приведите к общему знаменателю, но не отбрасывайте его — он даёт выколотые точки.

Типичные ошибки

• Умножили обе части на знаменатель и потеряли условие его знака.
• Множитель вида (3 − x) не переписали как −(x − 3): знак на крайнем правом интервале определён неверно.
• Чередовали знаки через точку чётной кратности.
• Закрасили ноль знаменателя или выкололи нуль числителя при нестрогом знаке.
• Забыли пересечь ответ с ОДЗ в логарифмическом неравенстве.

Как оформить решение

Проверяющий смотрит на обоснованность: должно быть видно преобразование к виду «дробь сравнивается с нулём», найденные точки, рисунок с интервалами и знаками, переход к ответу. Ответ записывайте промежутками со скобками, а не словами. Подставьте в исходное неравенство по одной точке из каждого выбранного промежутка — это занимает минуту и спасает балл.

Неравенства, уравнения и задачи с параметром разбирают в курсе «ЕГЭ по профильной математике»: в каждом уроке алгоритм, разбор ошибок и задачи с мгновенной проверкой ответа.