Задачи на смеси и сплавы в ЕГЭ по математике: как составить уравнение

20 октября 2026 г. · 3 мин чтения · Редакция Skill Unit

Задачи на смеси, растворы и сплавы пугают длинным условием, но решаются по одной схеме: следим за массой чистого вещества. Ниже схема и три учебных примера с проверкой.

Главная идея: считаем чистое вещество

Концентрация это доля чистого вещества в смеси. Масса вещества = масса смеси × концентрация (в долях). Например, в 200 г раствора с концентрацией 10% содержится 200 × 0,1 = 20 г соли. Когда вы смешиваете растворы, массы смесей складываются, массы вещества тоже складываются, а концентрацию вы находите заново.

Алгоритм из пяти шагов

• Выпишите все смеси (до и после) и для каждой массу и концентрацию. Удобно оформить таблицей: смесь, масса, концентрация, масса вещества.
• Переведите проценты в доли: 15% это 0,15.
• Обозначьте неизвестное через x и заполните таблицу, выражая остальное через x.
• Составьте уравнение: масса вещества в итоговой смеси равна сумме масс вещества в исходных.
• Решите уравнение, вернитесь к вопросу задачи и проверьте ответ подстановкой.

Пример 1 (учебный): смешивание двух растворов

Смешали 200 г 10-процентного раствора соли и 300 г 20-процентного. Какова концентрация полученного раствора? Соли в первом растворе 200 × 0,1 = 20 г, во втором 300 × 0,2 = 60 г. Всего соли 80 г, масса раствора 500 г. Концентрация 80 : 500 = 0,16, то есть 16%. Здесь неизвестное искали напрямую, без x.

Пример 2 (учебный): сколько воды добавить

К 300 г 20-процентного раствора добавили воду, и концентрация стала 15%. Сколько воды добавили? Соли в исходном растворе 300 × 0,2 = 60 г. Пусть добавили x г воды. Масса нового раствора (300 + x) г, соли в нём по-прежнему 60 г. Уравнение: 60 = 0,15 × (300 + x). Отсюда 300 + x = 400, x = 100 г. Важная деталь: при добавлении чистой воды масса вещества не меняется, меняется только масса смеси.

Пример 3 (учебный): сплавы

Есть два сплава, в первом 30% золота, во втором 60%. Сколько килограммов первого сплава нужно взять, чтобы получить 10 кг сплава с 45% золота? Пусть первого сплава x кг, тогда второго (10 − x) кг. Золота: 0,3x + 0,6(10 − x) = 0,45 × 10. Раскрываем: 0,3x + 6 − 0,6x = 4,5, откуда −0,3x = −1,5, x = 5 кг. Проверка: 5 кг по 30% дают 1,5 кг золота, 5 кг по 60% дают 3 кг, всего 4,5 кг в 10 кг, то есть 45%. Ответ сходится.

Быстрая проверка на здравый смысл

• Концентрация смеси всегда лежит между концентрациями исходных растворов. В примере 1 это 16% между 10% и 20%.
• Если смеси равны по массе, итоговая концентрация это среднее арифметическое. Если одной смеси больше, результат ближе к ней.
• Масса искомого компонента не может быть отрицательной или больше всей смеси.

Типичные ошибки

• Складывают проценты вместо масс вещества: 10% и 20% дают не 30%.
• Забывают перевести проценты в доли и получают уравнение с неправильным порядком чисел.
• Путают массу смеси и массу вещества: в уравнение должна входить масса вещества.
• При добавлении воды меняют массу вещества, хотя меняется только масса раствора.
• Не читают вопрос до конца: нашли x, а спрашивали, например, массу второго сплава или конечную концентрацию.
• Не проверяют ответ подстановкой и теряют баллы на арифметике.

Как тренироваться

Решите по одной задаче каждого типа: смешивание двух растворов, добавление воды, выпаривание, сплавы с тремя компонентами. Каждый раз начинайте с таблицы и не переходите к уравнению, пока она не заполнена. Ошибки записывайте и разбирайте: чаще всего они повторяются.

Разбор текстовых задач, проверку решений и тренировку по новой структуре экзамена можно пройти в курсе «ЕГЭ по профильной математике»: теория короткая, практика с проверкой. См. также статьи о задачах на движение и о вкладах и кредитах.