Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке: алгоритм, который не даёт ошибиться

12 октября 2026 г. · 3 мин чтения · Редакция Skill Unit

Задача выглядит страшно, а решается одним алгоритмом. Все потери баллов в ней складываются из трёх ошибок: взяли корень вне отрезка, забыли концы, написали в ответе x вместо значения функции.

Алгоритм

• Найдите производную и решите f′(x) = 0. Нули отметьте на числовой прямой. Оставьте только те, что лежат внутри отрезка.
• Для экстремумов смотрите знак производной: с плюса на минус — максимум, с минуса на плюс — минимум.
• Для наибольшего или наименьшего на отрезке вычислите значение самой функции в нулях производной внутри отрезка и на обоих концах.
• Выберите нужное из значений. Ответ — значение функции, а не значение x.

Пример 1: максимум оказался на конце отрезка

Найдём наибольшее значение f(x) = 2x³ − 9x² + 12x − 4 на [0; 3]. Производная 6x² − 18x + 12 = 6(x − 1)(x − 2), нули x = 1 и x = 2, оба внутри отрезка. Значения: f(0) = −4, f(1) = 2 − 9 + 12 − 4 = 1, f(2) = 16 − 36 + 24 − 4 = 0, f(3) = 54 − 81 + 36 − 4 = 5.

Наибольшее значение 5, оно достигается на конце x = 3, а не в точке экстремума. Если бы вы смотрели только нули производной, ответ был бы 1, а это неверно.

Пример 2: корень вне отрезка

Найдём наименьшее значение f(x) = x³ − 3x на [0; 2]. Производная 3x² − 3, нули x = 1 и x = −1. Второй не принадлежит отрезку, его значения не рассматриваем. Считаем: f(0) = 0, f(1) = −2, f(2) = 8 − 6 = 2. Наименьшее −2. Ответ: −2, а не 1 (это точка, где оно достигнуто).

Критическая точка не всегда экстремум

Если производная равна нулю, но не меняет знак (положительна по обе стороны), экстремума в этой точке нет. Например, у x³ производная 3x² равна нулю в нуле, но функция там продолжает возрастать.

Если дан график производной

Читайте не график функции, а знаки производной: где график производной выше оси, функция возрастает, где ниже — убывает. Точки экстремума там, где график производной пересекает ось, меняя знак. Касание оси без смены знака экстремума не даёт.

Касательная и первообразная

• Уравнение касательной в точке x₀: y = f(x₀) + f′(x₀)(x − x₀).
• Касательная параллельна прямой y = kx + b, если f′(x₀) = k.
• Определённый интеграл считают по формуле Ньютона — Лейбница: F(b) − F(a), где F — первообразная. Если в задаче есть условие на первообразную, подставляйте точку и находите константу.

Пример касательной: f(x) = x³ − 2x в точке x₀ = 1. f(1) = −1, f′(x) = 3x² − 2, f′(1) = 1. Касательная y = −1 + 1·(x − 1) = x − 2.

Что делать дальше

Решите по этому алгоритму пять задач и каждый раз выпишите значения на концах, даже если кажется, что экстремум очевиден. В курсе «ЕГЭ по математике (профиль)» на Skill Unit производной посвящён урок с тренажёром и разбором ошибок. Первые уроки бесплатны.