Неравенства на ОГЭ по математике: линейные, квадратные и системы без потери знака

22 октября 2026 г. · 3 мин чтения · Редакция Skill Unit

Неравенства на ОГЭ встречаются и в первой части, и во второй. Решаются они почти как уравнения, но с двумя отличиями: знак иногда переворачивается, а ответ — не число, а промежуток. Именно на этих двух местах теряют баллы.

Линейные неравенства: одно правило про знак

Переносите слагаемые из одной части в другую с противоположным знаком — как в уравнении. Делить и умножать обе части можно, но:

• на положительное число — знак неравенства сохраняется;
• на отрицательное число — знак меняется на противоположный.

Пример 1. 3x − 5 > 7 → 3x > 12 → x > 4. Ответ: (4; +∞).

Пример 2. −2x + 3 ≤ 9 → −2x ≤ 6. Делим на −2, знак меняется: x ≥ −3. Ответ: [−3; +∞).

Проверка за пять секунд: подставьте число из ответа. Для примера 2 возьмём x = 0: −2·0 + 3 = 3 ≤ 9 — верно. А x = −5 (не из ответа): 10 + 3 = 13 ≤ 9 — неверно. Значит, ответ правильный.

Скобки: круглые или квадратные

• Строгий знак (<, >) — точка не входит, скобка круглая.
• Нестрогий (≤, ≥) — точка входит, скобка квадратная.
• Бесконечность всегда в круглой скобке.

Квадратные неравенства: метод параболы

• Перенесите всё в одну часть: ax² + bx + c > 0 (или <, ≤, ≥).
• Найдите корни уравнения ax² + bx + c = 0.
• Нарисуйте схематично параболу: при a > 0 ветви вверх, при a < 0 — вниз. Отметьте корни на оси.
• Выберите участки, где парабола выше оси (для > 0) или ниже (для < 0).

Пример 3. x² − 5x + 6 < 0. Корни: 2 и 3. Ветви вверх, парабола ниже оси между корнями. Ответ: (2; 3).

Пример 4. x² − 9 ≥ 0. Корни: −3 и 3. Парабола выше оси снаружи от корней, точки входят. Ответ: (−∞; −3] ∪ [3; +∞).

Пример 5. −x² + 4x > 0. Удобно умножить на −1 и поменять знак: x² − 4x < 0. Корни 0 и 4, ответ: (0; 4).

Если корней нет

Когда дискриминант отрицательный, парабола целиком выше или ниже оси.

• x² + 4 > 0 — верно при любом x. Ответ: (−∞; +∞).
• x² + 4 < 0 — не выполняется ни при каком x. Ответ: решений нет.
• x² ≤ 0 — выполняется только при x = 0. Ловушка: многие пишут «нет решений».

Системы неравенств

Решите каждое неравенство отдельно и найдите общую часть — пересечение. Нарисуйте оба ответа на одной числовой прямой: штриховка сверху и снизу, ответ — где штриховки совпадают.

Пример 6. Система: 2x − 1 > 3 и x − 7 ≤ 0. Первое: x > 2. Второе: x ≤ 7. Общая часть: (2; 7].

Если штриховки не пересекаются, у системы нет решений. Например, x > 5 и x < 1.

Частые ошибки

• Делить на отрицательное число и забыть поменять знак.
• Делить на x или на выражение с x: его знак неизвестен. Переносите всё в одну часть и раскладывайте на множители.
• Перепутать скобки на концах промежутка.
• В квадратном неравенстве написать ответ «между корнями», когда нужно «снаружи», — помогает схематичный рисунок параболы.
• В задании с выбором ответа не сверить, какой рисунок числовой прямой соответствует найденному промежутку.

В курсе «ОГЭ по математике» неравенства, функции и уравнения отрабатываются на мини-задачах с мгновенной проверкой, а ИИ-преподаватель разбирает ваше решение по шагам. «Быстрый старт» бесплатный.