Тригонометрическое уравнение на ЕГЭ по математике: как решить и отобрать корни на отрезке

19 октября 2026 г. · 4 мин чтения · Редакция Skill Unit

В профильном ЕГЭ есть задача, где нужно решить тригонометрическое уравнение и отобрать корни на заданном отрезке. Баллы здесь чаще теряют не на самом уравнении, а на отборе: забывают одну из серий, ошибаются в границах или не проверяют ограничения. Ниже порядок действий, который снижает число таких потерь.

Шаг 1. Приведите уравнение к простому виду

Сначала сведите всё к одной функции одного аргумента: используйте основное тождество sin²x + cos²x = 1, формулы двойного угла, вынесение общего множителя. Если получилось квадратное уравнение, введите замену t = sin x или t = cos x и помните, что t лежит в пределах от −1 до 1: корни вне этого отрезка отбрасываем сразу.

Шаг 2. Запишите серии решений

• sin x = 0: x = πn. sin x = 1: x = π/2 + 2πn. sin x = −1: x = −π/2 + 2πn.
• cos x = 0: x = π/2 + πn. cos x = 1: x = 2πn. cos x = −1: x = π + 2πn.
• sin x = a в общем виде: x = (−1)ⁿ·arcsin a + πn. cos x = a: x = ±arccos a + 2πn. tg x = a: x = arctg a + πn.
• Для sin x = 1/2 удобно записывать две серии: x = π/6 + 2πn и x = 5π/6 + 2πn. Здесь n — любое целое число.

Шаг 3. Отберите корни на отрезке

Есть три рабочих способа. Подстановка значений n: подставляйте n = 0, 1, −1 и смотрите, какие числа попали в отрезок. Двойное неравенство: подставьте серию в условие a ≤ x ≤ b, решите относительно n и возьмите целые значения. Числовая окружность: отметьте точки серий и границы отрезка, это наглядно для отрезков вроде [0; 2π]. Двойное неравенство надёжнее всего, когда в серии стоит дробь вроде πk/2.

Учебный пример 1

Решите уравнение 2sin²x − 3sin x + 1 = 0 и отберите корни на отрезке [0; 2π]. Замена t = sin x даёт 2t² − 3t + 1 = 0. Дискриминант 9 − 8 = 1, откуда t = (3 ± 1)/4, то есть t = 1 или t = 1/2. Оба значения допустимы. Тогда sin x = 1: x = π/2 + 2πn; sin x = 1/2: x = π/6 + 2πn и x = 5π/6 + 2πn. При n = 0 все три значения лежат в отрезке, при n = 1 они больше 2π, при n = −1 меньше нуля. Ответ в отборе: π/6, π/2, 5π/6.

Учебный пример 2

Пусть после преобразований получилось cos 2x = 0 и нужен отбор на [0; 2π]. Тогда 2x = π/2 + πk, x = π/4 + πk/2. Запишем неравенство 0 ≤ π/4 + πk/2 ≤ 2π и умножим на 4/π: 0 ≤ 1 + 2k ≤ 8. Отсюда −1/2 ≤ k ≤ 7/2, целые k = 0, 1, 2, 3. Корни: π/4, 3π/4, 5π/4, 7π/4. Проверка: при k = 3 получаем π/4 + 3π/2 = 7π/4, это меньше 2π.

Про ОДЗ и ограничения

Если в уравнении есть дробь, tg x или ctg x, найдите значения, при которых знаменатель равен нулю или функция не определена, и исключите их из ответа. Корень, который «красиво» попал в отрезок, но обращает знаменатель в ноль, в ответ входить не должен. Сделайте эту проверку отдельной строкой в решении.

Частые ошибки

• Потеря серии: для sin x = a записали только одну серию из двух.
• Деление на выражение с неизвестным (например, на sin x) вместо вынесения множителя: так теряются корни.
• Неверные границы в двойном неравенстве: забыли умножить все три части или перепутали знак при умножении на отрицательное число.
• Слишком мало значений n при подстановке: проверили только n = 0.
• Не проверили ОДЗ и оставили лишний корень.
• Ответ без оформленного отбора: в решении должно быть видно, как именно вы отбирали корни.

Что делать дальше

Решите пять уравнений из открытого банка ФИПИ по этому порядку, каждый раз записывая отбор отдельным блоком. На курсе «ЕГЭ по математике (профиль)» на Skill Unit такие задачи разобраны по шагам с практикой и проверкой решения.