Прикладная задача в профильном ЕГЭ по математике: как решать новое задание 17

12 октября 2026 г. · 4 мин чтения · Редакция Skill Unit

Прикладная задача пугает тех, кто не любит физику и экономику. На деле формулы в условии обычно даны целиком, а ваша работа — математическая: превратить текст в функцию одной переменной, исследовать её и вернуться к вопросу. По плану изменений ФИПИ это задание проверяет умение моделировать реальные ситуации на языке математики и исследовать построенную модель средствами алгебры и начал анализа.

Три работы внутри одной задачи

• Перевести текст в формулу. Ошибки: две переменные вместо одной, потерянное условие.
• Исследовать формулу. Это привычная часть: производная, знаки, значения на границах.
• Вернуться из формулы в текст. Ошибки: назвали значение аргумента, хотя спрашивали значение функции, или забыли единицы.

Тренируют обычно вторую работу, а баллы теряют на первой и третьей. Поэтому ниже каждый пример проходит по одному и тому же плану.

План решения

• Модель. Что обозначаем за x и какова функция F(x).
• Область определения. Ограничения по смыслу: длина положительна, цена не меньше закупки, число изделий целое.
• Исследование. Производная, нули, знаки, значения на границах области.
• Вывод. Ответ словами и с единицами измерения.

Пример 1. Мощность источника тока

Источник тока с ЭДС 12 В и внутренним сопротивлением 2 Ом подключён к внешнему сопротивлению R. Мощность на нагрузке: P(R) = 144R / (R + 2)². При каком R мощность наибольшая и чему она равна?

Модель дана. Область: R > 0. Производная по правилу частного: P′(R) = 144(2 − R) / (R + 2)³. Знаменатель при R > 0 положителен, знак задаёт множитель 2 − R. При R < 2 производная положительна, при R > 2 отрицательна, значит R = 2 — единственная точка максимума. P(2) = 144 · 2 / 16 = 18.

Вывод: наибольшая мощность 18 Вт достигается при R = 2 Ом. Обратите внимание: недостаточно написать «P′ = 0 при R = 2, ответ 18». Проверяющему нужно увидеть смену знака производной, иначе остаётся вопрос, максимум это или минимум.

Пример 2. Коробка из картона

Из квадратного листа картона со стороной 12 см по углам вырезают квадраты со стороной x и сгибают коробку без крышки. Объём V(x) = x(12 − 2x)², где 0 < x < 6. Найдите наибольший объём.

Раскроем скобки: V(x) = 4x³ − 48x² + 144x, откуда V′(x) = 12x² − 96x + 144 = 12(x − 2)(x − 6). На области остаётся корень x = 2. При x < 2 производная положительна, при 2 < x < 6 отрицательна, значит x = 2 — максимум. V(2) = 2 · 8² = 128 см³.

Типичная ошибка: потеряли множитель −2 при дифференцировании (12 − 2x)² и получили x = 4 и объём 64. Быстрая проверка спасает: подставьте x = 2 и получите 128, что больше. Если подстановка контрпримера опровергает ответ, ищите ошибку в производной.

Пример 3. Ограда у стены

Участок у стены дома огораживают сеткой длиной 60 м с трёх сторон. Какая наибольшая площадь? Пусть x — длина каждой из двух сторон, перпендикулярных стене. Тогда сторона вдоль стены равна 60 − 2x и S(x) = x(60 − 2x), 0 < x < 30.

Это парабола ветвями вниз, вершина при x = 15, S(15) = 15 · 30 = 450 м². Производная даёт то же: S′ = −4x + 60. Здесь достаточно сказать, что ветви направлены вниз и вершина лежит в области. Выбирайте способ, который сможете полностью обосновать.

Пример 4. Рейс грузовика

Грузовик проезжает 120 км со скоростью v км/ч, стоимость часа работы 400 + 0,25v² рублей, допустимая скорость от 20 до 90 км/ч. При какой скорости затраты наименьшие?

Время в пути 120 / v часов, затраты C(v) = 48000 / v + 30v на области 20 ≤ v ≤ 90. Производная C′ = −48000 / v² + 30 равна нулю при v² = 1600, v = 40. До 40 производная отрицательна, после положительна, значит это минимум. C(40) = 1200 + 1200 = 2400 рублей.

Независимая проверка: для суммы a/v + bv наименьшее значение равно 2√(ab) и достигается, когда слагаемые равны. Здесь 2 · √(48000 · 30) = 2 · 1200 = 2400. Совпало. Но на экзамене опирайтесь на тот способ, который сможете полностью обосновать.

Где теряют баллы

• Не записали область определения. Нуль производной не всегда ответ: ищут наибольшее или наименьшее среди допустимых критических точек и границ области.
• Не заметили слова про целые величины. Если цена целая или число изделий целое, ответ сдвигается с вершины на соседнюю допустимую точку.
• Ответили не на вопрос: назвали x, а просили значение функции.
• Не написали единицы.

Шаблон записи

Держите под рукой четыре строки: модель (обозначение и формула), область, исследование (производная, нули, знаки, граничные значения), вывод словами с единицами. Эта запись одновременно и план, и ответ, поэтому не пропускайте ни одну строку.

Что делать дальше

Возьмите четыре задачи выше и решите заново, не заглядывая в разбор, строго по плану. Затем придумайте свою: например, прибыль от продажи при линейном спросе. В курсе «ЕГЭ по математике» на Skill Unit этому посвящён отдельный урок про новое задание 17 с практикой и проверкой; первые уроки бесплатны.