Производная по графику на ЕГЭ по математике: касательная, возрастание и точки экстремума

22 октября 2026 г. · 3 мин чтения · Редакция Skill Unit

Задачи на производную по рисунку решаются за минуту, если не путать два вида графиков: график самой функции и график её производной. Половина ошибок — именно отсюда. Разберём, что искать на каждом рисунке.

Главная формула: производная = угловой коэффициент касательной

Значение производной в точке x₀ равно тангенсу угла наклона касательной к графику в этой точке, то есть угловому коэффициенту k касательной: f′(x₀) = k = tg α.

Если на рисунке дана касательная, найдите на ней две точки с целыми координатами и посчитайте: k = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁).

Пример. Касательная проходит через точки (1; 2) и (4; 8). Тогда k = (8 − 2) ÷ (4 − 1) = 6 ÷ 3 = 2. Значит, f′(x₀) = 2.

Пример со знаком минус. Касательная проходит через точки (−2; 5) и (2; −3). k = (−3 − 5) ÷ (2 − (−2)) = −8 ÷ 4 = −2. Прямая идёт вниз слева направо — производная отрицательна. Так быстро проверить знак ответа.

• Касательная идёт вверх слева направо — производная положительна.
• Идёт вниз — отрицательна.
• Касательная горизонтальна — производная равна нулю.
• Не путайте клетки по осям: если масштаб по x и по y разный, считайте по координатам, а не «по клеткам на глаз».

Если дан график функции f(x)

• Производная положительна там, где функция возрастает (график идёт вверх).
• Производная отрицательна там, где функция убывает.
• Производная равна нулю в точках максимума и минимума — в «вершинах» и «впадинах» графика, где касательная горизонтальна.

Типичный вопрос: «в скольких из отмеченных точек производная отрицательна?» Не нужно ничего считать — посмотрите, в каких точках график идёт вниз.

Если дан график производной f′(x)

Здесь всё читается иначе. Высота графика — это значение производной, а не функции.

• Функция возрастает там, где график производной выше оси x (f′ > 0).
• Функция убывает там, где график производной ниже оси x (f′ < 0).
• Точки экстремума функции — там, где график производной пересекает ось x и меняет знак.
• Точка максимума: знак производной меняется с «+» на «−». Точка минимума: с «−» на «+».
• Если график производной касается оси и не меняет знак — экстремума нет.

Пример. График производной на отрезке [−4; 6] пересекает ось x в точках −2, 1 и 4. Слева от −2 производная положительна, между −2 и 1 — отрицательна, между 1 и 4 — положительна, правее 4 — отрицательна. Тогда −2 — точка максимума («+» → «−»), 1 — минимума («−» → «+»), 4 — снова максимума. Всего точек максимума две.

Наибольшее значение функции по графику производной

Если на всём отрезке производная положительна, функция возрастает, и наибольшее значение — на правом конце отрезка. Если отрицательна — на левом. Если производная меняет знак с «+» на «−» внутри отрезка, наибольшее значение — в этой точке максимума. Сами значения функции по графику производной не найти, только точки.

Чек-лист перед ответом

• Подпись на рисунке: y = f(x) или y = f′(x)? Прочитайте её первой.
• Что спрашивают: значение производной, число точек, точку экстремума, промежуток?
• Для касательной: две точки с целыми координатами и знак «вверх/вниз».
• Для графика производной: смотрите на знак (выше или ниже оси), а не на то, растёт ли сама кривая.

Самая частая ошибка — искать точки максимума на графике производной как «вершины» кривой. Вершины графика f′ — это не экстремумы f. Экстремумы f — там, где f′ пересекает ось.

В курсе «ЕГЭ по профильной математике» производная, касательная и исследование функций разобраны с мини-задачами и мгновенной проверкой, а ИИ-преподаватель объясняет ошибку в вашем решении. Первый урок бесплатный.