Вероятность на ЕГЭ по математике: как выбрать правило за три секунды

12 октября 2026 г. · 2 мин чтения · Редакция Skill Unit

Ошибки в вероятности редко вычислительные. Чаще человек не может назвать, какая перед ним ситуация, и берёт знакомую формулу наугад. Поэтому сначала мы называем тип, потом считаем. Три секунды на название типа экономят минуты на возвраты.

Классическая формула и ловушка двух кубиков

Вероятность равна числу благоприятных исходов, делённому на число всех равновозможных. Ловушка: «сумма очков на двух кубиках может быть от 2 до 12, всего 11 вариантов». Это неверно, потому что суммы не равновозможны. Равновозможны пары кубиков, их 36.

Пример. Сумма равна 8: пары (2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2), всего 5. Вероятность 5/36. Сумма 2 возможна одним способом (1,1), поэтому её вероятность 1/36, а сумма 7 самая вероятная: 6/36.

Какое правило применить

• «И то, и другое» для независимых событий: умножаем. Два стрелка попали оба: 0,8 · 0,7 = 0,56.
• «Или то, или другое» для несовместных событий: складываем. Сумма больше вероятностей не может выйти за единицу.
• «Хотя бы один»: считаем противоположное событие. P(хотя бы один) = 1 − P(ни одного).
• Событие зависит от того, откуда деталь или куда попал выбор: используем полную вероятность.

Если события совместны, например «выпало чётное» и «выпало больше 4» на одном кубике, вероятности просто складывать нельзя: исход 6 принадлежит обоим, его посчитаем дважды.

Хотя бы один: три датчика

Три независимых датчика, каждый отказывает с вероятностью 0,1. Система работает, если исправен хотя бы один. Считать напрямую («первый, или второй, или третий») долго. Через противоположное: все три отказали 0,1³ = 0,001, значит, хотя бы один работает 1 − 0,001 = 0,999.

Проверка здравого смысла: вероятность всегда от 0 до 1. Если вы получили 2,8, вы сложили то, что нужно было умножать.

Полная вероятность: два склада

Склад 1 даёт 60 % деталей с браком 2 %, склад 2 даёт 40 % деталей с браком 5 %. Вероятность, что случайная деталь бракованная: 0,6 · 0,02 + 0,4 · 0,05 = 0,012 + 0,020 = 0,032. Простое среднее двух процентов подошло бы только при равных долях складов.

Комбинаторика внутри вероятности

Когда исходов много, число способов считают сочетаниями C(n, k) = n!/(k!(n−k)!). Пример: из 10 учеников случайно выбирают двух дежурных. Вероятность, что среди них Аня: благоприятных пар 9 (Аня и один из девяти), всего пар C(10, 2) = 45, значит, 9/45 = 0,2.

Случайная величина (задание 6)

Математическое ожидание E(X) — сумма «значение × вероятность». Для кубика E = (1+2+3+4+5+6)/6 = 3,5. Дисперсия D(X) = E(X²) − (E(X))², стандартное отклонение — её корень. Свойства: E(aX + b) = aE(X) + b, D(aX + b) = a²D(X); добавка b дисперсию не меняет.

Что делать дальше

Возьмите десять задач из открытого банка ФИПИ и подпишите к каждой тип ситуации по таблице, прежде чем считать. В курсе «ЕГЭ по математике (профиль)» на Skill Unit вероятности посвящён урок с тренажёром. Первые уроки бесплатны.