Единичная окружность на ЕГЭ по математике: как найти синус и косинус без зубрёжки

5 ноября 2026 г. · 3 мин чтения · Редакция Skill Unit

Тригонометрию часто учат как набор формул, а потом путают знаки. Единичная окружность заменяет половину таблиц: вы видите, чему равен синус или косинус, а не вспоминаете. Ниже схема, которую можно нарисовать за полминуты на любом черновике.

Что такое единичная окружность

Это окружность радиуса 1 с центром в начале координат. Угол отсчитывают от положительного направления оси Ox против часовой стрелки. Точка на окружности, соответствующая углу, имеет две координаты. Абсцисса (x) равна косинусу угла, ордината (y) равна синусу. Тангенс равен отношению синуса к косинусу, то есть y/x.

Отсюда сразу видны базовые значения: для угла 0° точка (1; 0), значит cos 0° = 1 и sin 0° = 0. Для 90° точка (0; 1), значит cos 90° = 0 и sin 90° = 1. Для 180° точка (−1; 0). Для 270° точка (0; −1).

Три угла, которые нужно знать

• 30° (π/6): sin = 1/2, cos = √3/2.
• 45° (π/4): sin = cos = √2/2.
• 60° (π/3): sin = √3/2, cos = 1/2.
• Подсказка: при росте угла от 0° до 90° синус растёт, а косинус убывает, поэтому у 30° синус меньше косинуса, у 60° наоборот.

Знаки по четвертям

• I четверть: синус, косинус и тангенс положительны.
• II четверть: положителен только синус (y положителен, x отрицателен).
• III четверть: положительны тангенс и котангенс, синус и косинус отрицательны.
• IV четверть: положителен только косинус.

Формулы приведения без зубрёжки

Чтобы найти значение для угла вида 180° − a, 180° + a или 360° − a, действуйте по схеме. Сначала определите четверть и знак исходной функции в ней. Затем замените угол на острый угол a: если откладываем от 180° или 360° (горизонтальная ось), функция остаётся той же. Для углов от 90° и 270° (вертикальная ось) синус меняется на косинус и наоборот.

Примеры

• sin 150°. Угол 150° = 180° − 30°, это II четверть, синус там положителен. Значит sin 150° = sin 30° = 1/2.
• cos 225°. Угол 225° = 180° + 45°, это III четверть, косинус отрицателен. Значит cos 225° = −cos 45° = −√2/2.
• sin(7π/6). Это π + π/6, III четверть, синус отрицателен. Значит sin(7π/6) = −sin(π/6) = −1/2.
• cos(5π/3). Это 2π − π/3, IV четверть, косинус положителен. Значит cos(5π/3) = cos(π/3) = 1/2.

Как перевести градусы в радианы

Помните одну связь: 180° = π радиан. Чтобы перевести градусы в радианы, умножьте на π/180. Например, 60° = 60 · π/180 = π/3. Обратно: умножьте радианы на 180/π, и π сократится.

Типичные ошибки

• Путают, какая координата синус, а какая косинус: запомните, что x это косинус, y это синус.
• Забывают знак в II и III четвертях.
• Меняют синус на косинус в формулах приведения от горизонтальной оси или забывают поменять от вертикальной.
• Путают радианы и градусы: проверяйте, в чём задан угол, прежде чем подставлять значения.
• Оставляют ответ в виде sin 150° вместо числа 1/2.

Как тренироваться

• Нарисуйте окружность с углами через 30° и 45° и подпишите координаты точек. Повторите по памяти на следующий день.
• Решите по пять примеров на каждую четверть, проговаривая шаги: четверть, знак, острый угол.
• Проверяйте себя по знаку: отрицательный косинус во II четверти не может быть положительным.

Единичная окружность нужна и для тригонометрических уравнений с отбором корней: корни на промежутке удобно отмечать именно на ней. Тренировочные задания с проверкой шагов собраны в курсе «ЕГЭ по математике» на Skill Unit. Первый урок бесплатный.